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Die Summe der Dreieckswinkel

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Abschnitte: Mathe

In diesem Artikel gehe ich auf eine Möglichkeit ein, die kognitive Aktivität von Schulkindern zu verbessern und deren logisches Denken zu verbessern: Wir stellen Kinder vor das Problem, verschiedene Möglichkeiten zu finden, um denselben Satz zu beweisen, und zeigen anhand von Beispielen, wie dies getan wird.

Aber wie man die Schüler dazu ermutigt, unabhängig nach verschiedenen Wegen zu suchen, um Theoreme zu beweisen, wie man eine angemessene Arbeit mit Schülern im Klassenzimmer und in außerschulischen Aktivitäten organisiert. Dies ist besonders im Anfangsstadium des Studiums der Geometrie in der 7. Klasse wichtig - um die Notwendigkeit, nach neuen Beweisen zu suchen, in das Bewusstsein der Kinder einzutauchen. Wir beheben diese Fähigkeit in den nachfolgenden Phasen des Studiums der Geometrie.

Wir betrachten zunächst die Beweise einiger Theoreme auf verschiedene Arten.

Die Summe der Dreieckswinkel

Formulierung: Die Summe der Innenwinkel des Dreiecks beträgt 180º.

Beweis:

Wir legen Winkel von den Seiten des ICA-Winkels, die den Winkeln A und B entsprechen, beiseite: Ein Winkel von A wird vom Strahl CA in dieser Halbebene in Bezug auf die Linie CA abgesetzt, die keinen Punkt B enthält (Fig. 1). Es muss nachgewiesen werden, dass der Winkel NСM gleich 180º ist, d.h. eingesetzt wird.

Aus der Gleichheit der inneren Liegewinkel A und MCA folgt die Parallelität der Geraden SM und AB. In ähnlicher Weise sehen wir, dass CN ║ AB.

Unter Bezugnahme auf das Parallelaxiom schließen wir, dass die Geraden SM und CN zusammenfallen. Daher ist ∟МСN = 180º, und es enthält die Summe aller drei Innenwinkel des Dreiecks.

Zeichnen Sie einen Wechselstrom- und einen CF-Strahl parallel zu AB. ∟A = ∟DCF entsprechend den parallelen Linien CF und AB und der Sekante AC.

∟В = ∟BCF als interne Kreuze mit parallelen Geraden CF und АВ und Sekantenflugzeug. ∟ACD = 180º, weil Dieser Winkel ist entfaltet, was bedeutet: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

Zeichnen Sie die Sonnenstrahlen und die Lautsprecher und zeichnen Sie den SM ║ AB. ∟DCF = ∟ACB als Vertikale, ∟A = ∟FCM als Entsprechung für die parallelen Linien CM und AB und die Sekante AC. ∟В = ∟MCB als interne Kreuze mit parallelen Linien CM und AB und Sekantenflugzeugen. ∟DCB = 180º, weil Dieser Winkel ist aufgeklappt. Es stellte sich jedoch heraus, dass dieser aufgeklappte Winkel der Summe der drei Innenwinkel des Dreiecks entspricht, was bedeutet: :А + ∟В + ∟С = 180º.

Zeichne SM М VA. ∟A = ∟MCA als internes Kreuz an SM при VA und Sekante AC. ∟ВСМ = ∟А + ∟С. ∟ВСМ + ∟В = 180º, weil Diese Ecken sind innen einseitig mit parallelen Geraden CM und VA und Sekantenflugzeugen, was bedeutet: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.

Satz über die Abhängigkeit der Winkel eines Dreiecks von seinen Seiten

Formulierung: im dreieck gegen die größere seite liegt ein größerer winkel.

Beweis:

Betrachten Sie den Fall in ∆ ABC AC> AB. Wir haben uns zum Ziel gesetzt, zu beweisen, dass ∟С ∟ADM = ∟АЕМ> ∟С as ist (wir haben die Eigenschaften der Außenwinkel ∆ MVD und ∆ СЕМ angewendet). Daher ist ∟B> ∟C.

Sie können die Senkrechten BT und CI zum AM-Strahl weglassen (Abb. 7).

Dann stellt sich heraus, dass ∟ABT = ∟ACI, ∟В> ∟ АВТ = ∟ACI> ∟С.
Also, ∟В> ∟С. Der Satz ist bewiesen.

Drei senkrechte Theoreme (direkt und invers)

Aussage (direkter Satz): Wenn eine gerade Linie, die auf einer Ebene durch die Basis einer Schräge gezogen wird, senkrecht zu ihrer Projektion ist, dann ist sie senkrecht zu der am meisten geneigten.

Beweis:

Ich methode:
(Beweis des direkten Theorems)

Sei t ┴ OA. Es sei angenommen, dass SA nicht senkrecht zur Linie t ist. Zeichne SB ┴ t, dann SA> SB. Aus den rechten Dreiecken SOA und SOB: OA2 = SA2 - SO2, OB2 = SB2 - SO2. Wir erhalten: OA> OB. Währenddessen wird OA 3) die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons durch die Formel 180º (k -2) berechnet. Um aus einem k-gon ein (k + 1) -gon zu erhalten, genügt es, eine der Seiten zu „brechen“ und ohne die Konvexität zu verlieren, zwei gestrichelte Linien zu addieren. Dann werden 180º zur Summe der Innenwinkel des vergangenen k-gon addiert (für ∆ABC-Winkel).
180º (k - 2) + 180º = 180ºk - 360º + 180º = 180º ((k + 1) - 2). Die Aussage für n = k + 1 ist bewiesen. Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion gilt die Aussage für jede natürliche Zahl n, mindestens drei. Der Satz ist bewiesen.

Die zweite Gruppe von Schülern führt den Beweis des Theorems durch, indem sie Diagonalen zeichnet, die von einem Scheitelpunkt kommen. Die Leute bemerken, dass, wenn n die Anzahl der Seiten eines konvexen Polygons ist, (n - 2) die Anzahl der gebildeten Dreiecke ist. Und seitdem Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180º, die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Gons beträgt 180º (n -2).

Die dritte Gruppe von Kindern findet einen Beweis des Theorems, indem sie das Polygon in n Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt im inneren Bereich aufteilt. Die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Gons beträgt 180ºn - 360º = 180º (n -2).

Und schließlich kommt die vierte Gruppe von Schülern, die Abb. 12 studiert und die weitere Abb. 13 vervollständigt (wir zeichnen Ecken mit jeweils parallelen Seiten für die Winkel с1 bis ∟6), zu dem Ergebnis: Die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Gons beträgt 180ºn - 360º = 180º (n & supmin; ²).

Nach einer vorbereitenden Vorbereitung demonstrieren Vertreter jeder Gruppe im Vorstand der Klasse den gefundenen Beweis des Satzes.

Es wurde ein wahres Fest des Wissens!

Indem man die Schüler an die unabhängige Suche nach Beweisen gewöhnt und ihre Arbeit in diese Richtung fördert (auch wenn die gefundenen Beweise komplizierter sind als die bekannten), kann man fundiertere und tiefere Kenntnisse erlangen und das Interesse für das Fach steigern.

Inhalt

Aus dem Satz folgt, dass jedes Dreieck mindestens zwei spitze Winkel hat. Angenommen, ein Dreieck hat nur einen spitzen Winkel oder überhaupt keine spitzen Winkel, wenn der Beweis im Widerspruch angewendet wird. Dann hat dieses Dreieck mindestens zwei Winkel, von denen jeder mindestens 90 ° beträgt. Die Summe dieser Winkel beträgt nicht weniger als 180 °. Und das ist unmöglich, da die Summe aller Winkel des Dreiecks 180 ° beträgt.

Es gibt eine kompliziertere Beziehung zwischen den Diederwinkeln eines beliebigen Simplex. Nämlich, wenn L i j < displaystyle L_> Liegt der Winkel zwischen der i- und der j-Fläche des Simplex, so ist die Determinante der folgenden Matrix (die eine Zirkulante ist) 0:

Arten der größten Winkel

Folgende Polygontypen mit drei Eckpunkten werden unterschieden:

  • spitzwinklig, wobei alle Winkel scharf sind,
  • rechteckig mit einem rechten Winkel, während die Seiten, die ihn bilden, Beine genannt werden, und die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse genannt wird,
  • stumpf, wenn eine Ecke stumpf ist,
  • gleichschenklige Flächen, bei denen die beiden Seiten gleich sind und sie als seitlich bezeichnet werden, und die dritte - die Basis des Dreiecks,
  • gleichseitig, mit allen drei gleichen Seiten.

Die wichtigsten Eigenschaften, die für jeden Dreieckstyp charakteristisch sind, werden unterschieden:

  • gegenüber der größeren Seite gibt es immer einen größeren Winkel und umgekehrt,
  • entgegengesetzte Winkel gleicher Größe sind gleiche Winkel und umgekehrt
  • Jedes Dreieck hat zwei scharfe Ecken.
  • Die äußere Ecke ist größer als jede innere Ecke, die nicht an sie angrenzt.
  • die Summe von zwei beliebigen Winkeln ist immer kleiner als 180 Grad,
  • Der äußere Winkel ist gleich der Summe der verbleibenden zwei Winkel, die ihn nicht stören.

Die Summe der Dreieckswinkel

Der Satz besagt, dass die Summe aller Winkel einer gegebenen geometrischen Figur, die sich auf der euklidischen Ebene befindet, 180 Grad beträgt. Versuchen wir, diesen Satz zu beweisen.

Lassen Sie uns ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten des KMN haben.

Die folgende Folgerung folgt aus dem oben bewiesenen Theorem: Jedes Dreieck hat zwei spitze Winkel. Um dies zu beweisen, sei angenommen, dass eine gegebene geometrische Figur nur einen spitzen Winkel hat. Es ist auch davon auszugehen, dass keiner der Winkel scharf ist. In diesem Fall müssen mindestens zwei Winkel vorhanden sein, deren Wert mindestens 90 Grad beträgt. Dann beträgt die Summe der Winkel jedoch mehr als 180 Grad. Das kann aber nicht sein, denn nach dem Satz beträgt die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 ° - nicht mehr und nicht weniger. Das musste bewiesen werden.

Äußeres Eckgrundstück

Was ist die Summe der äußeren Winkel des Dreiecks? Die Antwort auf diese Frage erhalten Sie, indem Sie eine von zwei Methoden anwenden. Das erste ist, dass es notwendig ist, die Summe der Winkel zu finden, die an jedem Scheitelpunkt einen genommen werden, das heißt, drei Winkel. Die zweite impliziert, dass Sie die Summe aller sechs Winkel an den Eckpunkten finden müssen. Zunächst beschäftigen wir uns mit der ersten Option. Das Dreieck enthält also sechs äußere Ecken - an jedem Scheitelpunkt zwei.

Außerdem ist bekannt, dass der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe von zwei inneren Winkeln ist, die es nicht stören. Deshalb

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Daraus ergibt sich, dass die Summe der äußeren Ecken, die nacheinander in der Nähe jedes Scheitelpunkts genommen werden, gleich ist:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

Unter der Annahme, dass die Summe der Winkel 180 Grad beträgt, kann argumentiert werden, dass & Dgr; A + & Dgr; B + & Dgr; C = 180 ° ist. Und das bedeutet, dass ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Wenn die zweite Option angewendet wird, ist die Summe der sechs Ecken jeweils doppelt so groß. Das heißt, die Summe der Außenwinkel des Dreiecks ist:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Rechtwinkliges Dreieck

Was ist die Summe der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, die scharf sind? Die Antwort auf diese Frage folgt wiederum aus einem Satz, der besagt, dass sich die Winkel in einem Dreieck zu 180 Grad addieren. Und unsere Aussage (Eigenschaft) hört sich so an: In einem rechtwinkligen Dreieck addieren sich spitze Winkel zu 90 Grad. Lassen Sie uns seine Richtigkeit beweisen.

Also, nach dem Satz über die Summe der Winkel ∟К + ∟М + ∟Н = 180 °. Unser Zustand besagt, dass сказаноН = 90 °. Es stellt sich also heraus, ∟К + ∟М + 90 ° = 180 °. Das heißt, ∟К + ∟М = 180 ° - 90 ° = 90 °. Das hätten wir beweisen müssen.

Zusätzlich zu den oben beschriebenen Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks können Sie Folgendes hinzufügen:

  • die Winkel, die gegen die Beine liegen, sind scharf,
  • Die Hypotenuse eines Dreiecks ist größer als jedes Bein.
  • die Summe der Beine ist größer als die Hypotenuse,
  • Das Bein des Dreiecks, das dem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, ist die Hälfte der Hypotenuse, dh es ist gleich der Hälfte davon.

Als weitere Eigenschaft dieser geometrischen Figur können wir den Satz des Pythagoras unterscheiden. Sie behauptet, dass in einem Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad (rechteckig) die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.

Die Summe der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks

Wir haben zuvor gesagt, dass ein Polygon mit drei Eckpunkten, das zwei gleiche Seiten enthält, gleichschenklig ist. Diese Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist bekannt: Die Winkel an ihrer Basis sind gleich. Lasst es uns beweisen.

Nimm das gleichschenklige KMN-Dreieck, KN - seine Basis.

Uns interessiert jedoch die Summe der Winkel eines Dreiecks (gleichschenklig). Da er in dieser Hinsicht keine eigenen Eigenschaften hat, gehen wir von dem Satz aus, der zuvor betrachtet wurde. Das heißt, wir können sagen, dass ∟К + ∟М + ∟Н = 180 ° oder 2 х ∟К + ∟М = 180 ° (da ∟К = ∟Н). Wir werden diese Eigenschaft nicht beweisen, da der Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks bereits früher bewiesen wurde.

Neben den betrachteten Eigenschaften über die Winkel eines Dreiecks gibt es auch solche wichtigen Aussagen:

  • In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe, die zur Basis abgesenkt wurde, gleichzeitig der Median, die Winkelhalbierende zwischen gleichen Seiten sowie die Symmetrieachse der Basis.
  • Die Mediane (Bisektoren, Höhen), die an den Seiten einer solchen geometrischen Figur gezeichnet sind, sind gleich.

Gleichseitiges Dreieck

Es wird auch als regulär bezeichnet, es ist das Dreieck, in dem alle Seiten gleich sind. Daher sind auch die Winkel gleich. Jeder von ihnen ist 60 Grad. Lassen Sie uns diese Eigenschaft beweisen.

Angenommen, wir haben ein KMN-Dreieck. Wir wissen, dass KM = NM = KN. Und dies bedeutet, dass gemäß der Eigenschaft von Winkeln, die sich an der Basis in einem gleichschenkligen Dreieck befinden, ∟К = ∟М = ∟Н. Da nach dem Theorem die Summe der Winkel des Dreiecks ∟К + ∟М + ∟Н = 180 ° ist, ist 3 x ∟К = 180 ° oder ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. Damit ist die Aussage bewiesen.

Es gibt auch solche Eigenschaften, die für ein gleichseitiges Dreieck charakteristisch sind:

  • der Median, die Halbierende und die Höhe in einer solchen geometrischen Figur fallen zusammen, und ihre Länge wird berechnet als (а х √3): 2,
  • Wenn wir einen Kreis um ein gegebenes Polygon beschreiben, ist sein Radius gleich (а х √3): 3,
  • Wenn Sie einen Kreis in einem gleichseitigen Dreieck eingeben, ist sein Radius (und x √3): 6,
  • Die Fläche dieser geometrischen Figur berechnet sich nach der Formel: (a2 x √3): 4.

Stumpfes Dreieck

Nach der Definition eines stumpfen Dreiecks liegt einer seiner Winkel im Bereich von 90 bis 180 Grad. Aber wenn man bedenkt, dass die beiden anderen Winkel dieser geometrischen Figur scharf sind, kann man schließen, dass sie 90 Grad nicht überschreiten. Daher funktioniert der Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks, wenn die Summe der Winkel in einem stumpfen Dreieck berechnet wird. Es hat sich herausgestellt, dass wir auf der Grundlage des oben genannten Theorems mit Sicherheit sagen können, dass die Summe der Winkel eines stumpfwinkligen Dreiecks 180 Grad beträgt. Auch dieser Satz muss nicht erneut bewiesen werden.

Sehen Sie sich das Video an: Dreiecke und ihre Winkelsumme. Klasse 7 Wissen (Oktober 2022).

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