Hilfreiche Ratschläge

So finden Sie die Wurzelableitung

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Betrachten Sie eine Potenzfunktion der Variablen x mit Exponent a:
(3) .
Hier ist a eine beliebige reelle Zahl. Betrachten Sie zunächst den Fall.

Um die Ableitung der Funktion (3) zu finden, verwenden wir die Eigenschaften der Potenzfunktion und transformieren sie in die folgende Form:
.

Formel (1) ist bewiesen.

Herleitung einer Formel aus einer Wurzel vom Grad n von x bis zum Grad m

Betrachten Sie nun eine Funktion, die die Wurzel der folgenden Form ist:
(4) .

Um die Ableitung zu finden, transformieren wir die Wurzel in eine Potenzfunktion:
.
Im Vergleich mit der Formel (3) sehen wir das
.
Dann
.

Durch die Formel (1) erhalten wir die Ableitung:
(1) ,
,
(2) .

In der Praxis besteht keine Notwendigkeit, sich an Formel (2) zu erinnern. Es ist viel praktischer, zuerst die Wurzeln in Potenzfunktionen umzuwandeln und dann ihre Ableitungen unter Verwendung der Formel (1) zu finden (siehe Beispiele am Ende der Seite).

Derivate höherer Ordnung

Nun finden wir die Ableitungen höherer Ordnung der Potenzfunktion
(3) .
Das Derivat erster Ordnung haben wir bereits gefunden:
.

Nehmen wir die Konstante a jenseits des Vorzeichens der Ableitung, so finden wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Ebenso finden wir Ableitungen der dritten und vierten Ordnung:
,

.

Das zeigt das Ableitung beliebiger n-ter Ordnung hat die folgende Form:
.

Beachten Sie das wenn a eine positive ganze Zahl ist,, dann ist die n-te Ableitung konstant:
.
Dann sind alle nachfolgenden Ableitungen gleich Null:
,
bei.

Sehen Sie sich das Video an: Ableiten mit Kettenregel 2 Sinus, Wurzeln, e-Funktionen, Logarithmus Gehe auf (Kann 2021).

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